2019年考研数学压轴题解析如下：
压轴题一：极限求值题
题目：计算 $\lim_{x \to 0} \frac{x^3\sin(1/x)}{x^2+\cos x}$。
解答：
首先，对于分母进行化简，利用 $\cos x$ 的泰勒展开式：$\cos x = 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots$。
当 $x \to 0$ 时，忽略高次项，有 $\cos x \approx 1 - \frac{x^2}{2}$。
代入原极限，得到：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{x^3\sin(1/x)}{x^2+\cos x} \approx \lim_{x \to 0} \frac{x^3\sin(1/x)}{x^2+1-\frac{x^2}{2}} = \lim_{x \to 0} \frac{x^3\sin(1/x)}{1+\frac{x^2}{2}}
$$
利用洛必达法则求极限：
$$
\lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(x^3\sin(1/x))}{\frac{d}{dx}(1+\frac{x^2}{2})} = \lim_{x \to 0} \frac{3x^2\sin(1/x) - x^3\cos(1/x)/x^2}{x} = \lim_{x \to 0} (3x^2\sin(1/x) - x\cos(1/x))
$$
当 $x \to 0$ 时，$\sin(1/x)$ 和 $\cos(1/x)$ 均趋近于 $1$，所以原极限等于 $3x - x = 2x$。
当 $x \to 0$ 时，$2x \to 0$，因此原极限的值为 $0$。
压轴题二：不定积分题
题目：计算 $\int_0^{\pi/2} x^3\cos x \, dx$。
解答：
令 $I = \int_0^{\pi/2} x^3\cos x \, dx$，对 $I$ 进行分部积分，得到：
$$
I = x^3\sin x \bigg|_0^{\pi/2} - \int_0^{\pi/2} 3x^2\sin x \, dx
$$
由于 $x^3\sin x$ 在 $x=0$ 和 $x=\pi/2$ 处的值均为 $0$，上式变为：
$$
I = -\int_0^{\pi/2} 3x^2\sin x \, dx
$$
再次对上式进行分部积分，得到：
$$
I = -\left( -3x^2\cos x + \int_0^{\pi/2} 6x\cos x \, dx \right) = 3x^2\cos x - 6\int_0^{\pi/2} x\cos x \, dx
$$
对 $x\cos x$ 再次进行分部积分，得到：
$$
I = 3x^2\cos x - 6\left( x\sin x - \int_0^{\pi/2} \sin x \, dx \right)
$$
最后计算定积分：
$$
I = 3x^2\cos x - 6\left( x\sin x - \cos x \bigg|_0^{\pi/2} \right) = 3\pi^2 - 6
$$
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