2021年考研数学二第15题解析如下：
题目：设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，求$f(x)$的极值。
解题步骤：
1. 首先求出函数$f(x)$的导数$f'(x)$。
$$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$$
2. 然后令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。
3. 接下来求出$f''(x)$，判断极值点。
$$f''(x) = 6x - 6$$
当$x=1$时，$f''(1) = 0$，无法判断极值；
当$x=\frac{2}{3}$时，$f''(\frac{2}{3}) = 0$，无法判断极值。
4. 由于$f'(x)$在$x=1$和$x=\frac{2}{3}$处为0，因此这两个点可能是极值点。为了确定这两个点是否为极值点，我们可以观察$f'(x)$在$x=1$和$x=\frac{2}{3}$附近的符号变化。
当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，函数$f(x)$单调递增；
当$\frac{2}{3}
因此，$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极大值点，$x=1$是$f(x)$的极小值点。
5. 最后，计算极大值和极小值。
$$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3(\frac{2}{3})^2 + 4(\frac{2}{3}) - 1 = \frac{2}{27}$$
$$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 - 1 = 1$$
综上所述，$f(x)$的极大值为$\frac{2}{27}$，极小值为1。
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