2012年考研数学二真题详解如下：
一、选择题
1. 若函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处取得极值，则该极值为（ ）
A. 0 B. -2 C. 1 D. 2
答案：A
解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$。又因为$f''(x)=6x$，当$x=1$时，$f''(1)=6>0$，所以$x=1$是$f(x)$的极小值点，极小值为$f(1)=0$。
2. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，$B=\begin{bmatrix}5&6\\7&8\end{bmatrix}$，则$A+B$的行列式为（ ）
A. 0 B. 18 C. 20 D. 24
答案：D
解析：$A+B=\begin{bmatrix}1+5&2+6\\3+7&4+8\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}6&8\\10&12\end{bmatrix}$，$\text{det}(A+B)=6\times12-8\times10=24$。
3. 设$f(x)=x^3-3x+2$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. -1 D. 3
答案：A
解析：求导得$f'(x)=3x^2-3$，代入$x=1$得$f'(1)=3\times1^2-3=0$。
二、填空题
4. 设$f(x)=\frac{1}{x^2+1}$，则$f'(0)$的值为（ ）
答案：-1
解析：求导得$f'(x)=-\frac{2x}{(x^2+1)^2}$，代入$x=0$得$f'(0)=-\frac{2\times0}{(0^2+1)^2}=-1$。
5. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为（ ）
答案：$\begin{bmatrix}\frac{4}{10}&-\frac{2}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{bmatrix}$
解析：$A^{-1}=\frac{1}{\text{det}(A)}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\frac{1}{10}\begin{bmatrix}4&-2\\-3&1\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}\frac{4}{10}&-\frac{2}{10}\\-\frac{3}{10}&\frac{1}{10}\end{bmatrix}$。
三、解答题
6. 设$f(x)=x^3-3x+2$，求$f(x)$在$x=1$处的切线方程。
答案：$y=0$
解析：$f'(x)=3x^2-3$，$f'(1)=0$，所以切线斜率为0。又因为$f(1)=0$，所以切线方程为$y=0$。
7. 设$A=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}$，求$A^2$。
答案：$\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$
解析：$A^2=\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}1\times1+2\times3&1\times2+2\times4\\3\times1+4\times3&3\times2+4\times4\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}7&10\\15&22\end{bmatrix}$。
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