在考研高数中，以下是一道经典例题：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{1}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式。
解答：首先，我们需要求出 \( f(x) \) 的各阶导数。对 \( f(x) \) 求一阶导数得 \( f'(x) = -\frac{2x}{(1+x^2)^2} \)，二阶导数为 \( f''(x) = \frac{2(1-3x^2)}{(1+x^2)^3} \)，以此类推。
将 \( x=0 \) 代入各阶导数中，得到 \( f(0) = 1 \)，\( f'(0) = 0 \)，\( f''(0) = 2 \)，\( f'''(0) = 0 \)，\( f^{(4)}(0) = -24 \)，以此类推。
根据泰勒展开公式，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \frac{f^{(4)}(0)}{4!}x^4 + \cdots \]
\[ = 1 + 0 \cdot x + \frac{2}{2!}x^2 + 0 \cdot \frac{x^3}{3!} - \frac{24}{4!}x^4 + \cdots \]
\[ = 1 + x^2 - \frac{1}{3}x^4 + \cdots \]
所以，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为 \( 1 + x^2 - \frac{1}{3}x^4 + \cdots \)。
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