在考研数学中，无穷级数是一个重要的考点。以下是一些关于无穷级数的真题解析：
1. 真题：已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和为多少？
解析：这是一个著名的调和级数，其和等于 $\frac{\pi^2}{6}$。
2. 真题：判断级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{(-1)^n}{\sqrt{n}}$ 的敛散性。
解析：利用交错级数判别法，因为 $\lim_{n \to \infty} \frac{1}{\sqrt{n}} = 0$ 且 $\frac{1}{\sqrt{n}}$ 是单调递减的，所以该级数收敛。
3. 真题：求级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{n!}$ 的和。
解析：将级数展开为 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1) + n}{n!} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n(n-1)}{n!} + \sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n!}$，第一部分为 $\frac{1}{2}$，第二部分为 $e$，因此级数的和为 $\frac{1}{2} + e$。
4. 真题：证明级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 收敛。
解析：使用比较判别法，因为 $\frac{1}{n^3} < \frac{1}{n^2}$，而 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 是收敛的，所以原级数也收敛。
考研数学无穷级数是考研数学中的重要内容，对于理解和掌握这一部分的知识，多做真题和模拟题是非常有帮助的。现在，推荐一款考研刷题小程序——【考研刷题通】，涵盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效备考，轻松应对考试挑战！【考研刷题通】，你的考研好帮手！