在考研数学中，无穷级数是常考点，以下是一道经典的考研真题大题：
题目：已知级数 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和为 $S$，求 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的和。
解答思路：
1. 利用已知条件，求出 $S$ 的值。
2. 通过对 $S$ 的变形，找出 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的表达式。
3. 利用级数求和公式，计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的和。
解答过程：
1. 已知 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 的和为 $S$，则 $S = \frac{\pi^2}{6}$。
2. 将 $S$ 变形，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} = \frac{\pi^2}{6}$。
3. 对 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 进行变形，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} \cdot \frac{1}{n}$。
4. 利用级数求和公式，计算 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ 的和，得 $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3} = \frac{\pi^2}{6} \cdot \frac{1}{2} = \frac{\pi^2}{12}$。
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