2012年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x} + \ln x$，则$f(x)$的导数为：
- A. $-\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
- B. $\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
- C. $\frac{1}{x^2} + \frac{1}{x}$
- D. $-\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$
答案：C
2. 下列级数中收敛的是：
- A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
- B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n}{n^2+1}$
- C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
- D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{n^2}{e^n}$
答案：A
二、填空题
3. 设$a > 0$，则函数$f(x) = ax^2 - 2ax + 1$的极小值为$1$。
4. $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} = -\frac{1}{6}$。
三、解答题
5. 解微分方程：$y'' + 4y = 2\sin 2x$。
解： 特征方程为$r^2 + 4 = 0$，解得$r = \pm 2i$，因此通解为$y = C_1 \cos 2x + C_2 \sin 2x + \frac{1}{4} \sin 2x - \frac{1}{8} \cos 2x$。
6. 设$f(x)$在区间$[0, +\infty)$上连续，且$\lim_{x \to 0^+} f(x) = 1$，证明：$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = 1$。
证明： 令$F(x) = \int_0^x f(t) \, dt$，则$F'(x) = f(x)$。由洛必达法则，$\lim_{x \to 0^+} \frac{f(x)}{x} = \lim_{x \to 0^+} \frac{F'(x)}{1} = \lim_{x \to 0^+} F(x) = 1$。
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