考研数学中，幂级数展开式是不可或缺的重要知识点。以下是一些核心的幂级数展开式及其应用：
1. 指数函数的幂级数展开式：
\[ e^x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} \]
这是泰勒级数在 \( x = 0 \) 处的展开，指数函数的幂级数展开在求解微分方程、积分等问题中极为有用。
2. 正弦函数和余弦函数的幂级数展开式：
\[ \sin x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
\[ \cos x = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
这些展开式在解决三角函数相关的数学问题中起到关键作用。
3. 对数函数的幂级数展开式：
\[ \ln(1+x) = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n-1} \frac{x^n}{n} \]
此展开式适用于 \( -1 < x \leq 1 \) 的范围内，对数函数的幂级数展开在处理不等式和级数求和等问题中非常有用。
4. 双曲函数的幂级数展开式：
\[ \sinh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \]
\[ \cosh x = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} \]
双曲函数的幂级数展开在物理学和工程学中有广泛应用。
熟练掌握这些幂级数展开式对于考研数学来说至关重要。它们不仅在选择题、填空题中出现，还可能出现在解答题中，考验你的应用能力。
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