在考研数学中，求极值真题是考察考生对函数极值概念理解和应用能力的重要题型。以下是一道典型的考研数学求极值真题：
真题：
设函数 \( f(x, y) = x^3 + y^3 - 3xy \)，求函数在闭区域 \( D: \{ (x, y) \mid x^2 + y^2 \leq 1 \} \) 上的最大值和最小值。
解答步骤：
1. 求驻点：
计算偏导数 \( f_x = 3x^2 - 3y \) 和 \( f_y = 3y^2 - 3x \)，令它们同时等于0，得到方程组：
\[
\begin{cases}
3x^2 - 3y = 0 \\
3y^2 - 3x = 0
\end{cases}
\]
解得 \( (0,0) \)。
2. 求边界点：
由于闭区域 \( D \) 是一个圆，可以将其参数化：
\[
\begin{cases}
x = \cos\theta \\
y = \sin\theta
\end{cases}
\]
代入函数 \( f(x, y) \) 得到：
\[
f(\theta) = \cos^3\theta + \sin^3\theta
\]
在 \( \theta \) 的范围内求 \( f(\theta) \) 的最大值和最小值。
3. 求最大值和最小值：
由于 \( f(\theta) \) 是一个连续函数，且在闭区间上有界，因此存在最大值和最小值。通过求导或直接观察，可以得知在 \( \theta = \frac{\pi}{4} \) 和 \( \theta = \frac{5\pi}{4} \) 时，\( f(\theta) \) 取得最大值 \( 2 \)，在 \( \theta = \frac{\pi}{2} \) 和 \( \theta = \frac{3\pi}{2} \) 时，\( f(\theta) \) 取得最小值 \( -2 \)。
结论：
函数 \( f(x, y) \) 在闭区域 \( D \) 上的最大值为 \( 2 \)，最小值为 \( -2 \)。
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