2020年数三考研真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(x)$的零点为：
A. $x=1$
B. $x=2$
C. $x=3$
D. $x=4$
答案：A
2. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，则$A$的行列式$\det(A)$的值为：
A. $0$
B. $1$
C. $-1$
D. 无法确定
答案：A
3. 下列级数中，收敛的是：
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$
B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$
C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{\sqrt{n}}$
D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$
答案：A
二、填空题
1. 设$y = e^x + \sin x$，则$y'$的值为：
答案：$e^x + \cos x$
2. 设$a > 0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1 + ax)}{x}$的值为：
答案：$a$
三、解答题
1. 解微分方程$y'' - 2y' + 2y = e^x$。
解：设$y = e^{rx}$，代入微分方程得$r^2 - 2r + 2 = 0$，解得$r = 1 \pm i$。因此，通解为$y = e^x(C_1 \cos x + C_2 \sin x)$。
2. 设$A$为$3 \times 3$矩阵，且$A^2 = 0$，证明$A$不可逆。
证明：假设$A$可逆，则存在矩阵$B$使得$AB = BA = I$。由$A^2 = 0$，得$A^2B = AB^2 = 0$。因此，$AB = 0$，与$AB = I$矛盾。故$A$不可逆。
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