2021年考研数学三真题解析如下：
一、选择题解析
1. 第一题：考查了极限的计算。解题关键在于熟练掌握极限的基本性质和运算法则。答案为C。
2. 第二题：考查了函数的连续性。解题关键在于理解函数连续性的定义和性质。答案为B。
3. 第三题：考查了多元函数的偏导数。解题关键在于掌握多元函数偏导数的计算方法。答案为D。
4. 第四题：考查了线性方程组的求解。解题关键在于熟练掌握克莱姆法则。答案为A。
5. 第五题：考查了向量组的线性相关性。解题关键在于掌握向量组的线性相关性判定方法。答案为C。
二、填空题解析
1. 第一题：考查了二重积分的计算。解题关键在于熟练掌握二重积分的计算方法。答案为$\frac{\pi}{8}$。
2. 第二题：考查了行列式的计算。解题关键在于掌握行列式的计算方法。答案为$-1$。
3. 第三题：考查了矩阵的秩。解题关键在于掌握矩阵的秩的计算方法。答案为2。
4. 第四题：考查了级数的收敛性。解题关键在于掌握级数的收敛性判定方法。答案为$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$。
5. 第五题：考查了微分方程的求解。解题关键在于掌握微分方程的求解方法。答案为$y = e^x + C$。
三、解答题解析
1. 第一题：考查了常微分方程的求解。解题关键在于掌握常微分方程的求解方法。答案见解析。
2. 第二题：考查了多元函数的极值问题。解题关键在于掌握多元函数的极值判定方法。答案见解析。
3. 第三题：考查了线性代数中的矩阵运算。解题关键在于掌握矩阵运算的方法。答案见解析。
4. 第四题：考查了概率论中的随机变量及其分布。解题关键在于掌握随机变量及其分布的计算方法。答案见解析。
5. 第五题：考查了数学建模问题。解题关键在于掌握数学建模的方法。答案见解析。
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