面对考研数学一的高难度挑战，一份精心编制的模拟试卷至关重要。以下是针对这一挑战的原创高难度模拟试卷：
第一部分：高等数学
1. 设函数 \( f(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{x+1} \)，求 \( f(x) \) 的极值点。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & -1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的特征值和特征向量。
3. 设 \( f(x) = e^x \sin x \)，证明 \( f(x) \) 在 \( (-\infty, +\infty) \) 上存在零点。
第二部分：线性代数
1. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶实对称矩阵，证明 \( A \) 可以对角化。
2. 设 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求 \( A \) 的伴随矩阵 \( A^* \)。
3. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，证明 \( A \) 的行列式 \( |A| \) 与 \( A \) 的特征值 \( \lambda \) 满足 \( |A| = \lambda_1 \cdot \lambda_2 \cdot \ldots \cdot \lambda_n \)。
第三部分：概率论与数理统计
1. 设 \( X \) 是连续型随机变量，其概率密度函数为 \( f(x) = \frac{1}{\pi(1+x^2)} \)，求 \( X \) 的分布函数 \( F(x) \)。
2. 设 \( X \) 和 \( Y \) 是相互独立的随机变量，且 \( X \sim N(0,1) \)，\( Y \sim N(0,1) \)，求 \( Z = X + Y \) 的分布函数 \( F_Z(z) \)。
3. 设 \( X_1, X_2, \ldots, X_n \) 是独立同分布的随机变量，且 \( X_i \sim N(\mu, \sigma^2) \)，求 \( \overline{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^n X_i \) 的期望和方差。
通过这份模拟试卷，考生可以全面检验自己在数学一高难度考试中的实力。当然，考研之路漫长而艰辛，建议考生们利用【考研刷题通】小程序进行高效刷题，包括政治、英语、数学等全部考研科目，助力实现梦想！
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