2022年考研数学二第10题解析如下：
题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x + 1$，求$f(x)$在区间$[-1, 2]$上的最大值和最小值。
解题步骤：
1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$。
2. 求导数的零点：令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = \frac{2}{3}$。
3. 求二阶导数：$f''(x) = 6x - 6$。
4. 判断极值：$f''(1) = 0$，$f''(\frac{2}{3}) = 0$。在$x = 1$处，$f''(x)$的符号由负变正，故$x = 1$是极小值点；在$x = \frac{2}{3}$处，$f''(x)$的符号由正变负，故$x = \frac{2}{3}$是极大值点。
5. 求极值：$f(1) = 1^3 - 3 \times 1^2 + 4 \times 1 + 1 = 3$，$f(\frac{2}{3}) = (\frac{2}{3})^3 - 3 \times (\frac{2}{3})^2 + 4 \times \frac{2}{3} + 1 = \frac{5}{27}$。
6. 求端点值：$f(-1) = (-1)^3 - 3 \times (-1)^2 + 4 \times (-1) + 1 = -3$，$f(2) = 2^3 - 3 \times 2^2 + 4 \times 2 + 1 = 1$。
7. 比较极值和端点值：最大值为$f(1) = 3$，最小值为$f(-1) = -3$。
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