在考研数学的征途上，每一个难题都是对智慧的磨砺。以下是对几道典型考研数学题的详解：
1. 极限问题：
- 题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$。
- 解答：利用洛必达法则或夹逼定理，可以得出该极限值为1。
2. 导数与微分：
- 题目：求函数 $f(x) = x^3 - 3x + 2$ 在 $x=1$ 处的导数。
- 解答：对函数求导得 $f'(x) = 3x^2 - 3$，代入 $x=1$ 得 $f'(1) = 0$。
3. 积分问题：
- 题目：计算定积分 $\int_0^1 (2x + 1) \, dx$。
- 解答：根据积分公式，$\int (2x + 1) \, dx = x^2 + x$，代入上下限得 $\left[ x^2 + x \right]_0^1 = 2$。
4. 线性代数：
- 题目：已知矩阵 $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求矩阵 $A$ 的特征值和特征向量。
- 解答：求特征值需解特征方程 $\det(A - \lambda I) = 0$，得到特征值 $\lambda_1 = 2$ 和 $\lambda_2 = 5$。对应的特征向量可通过解线性方程组求得。
5. 概率论与数理统计：
- 题目：已知随机变量 $X$ 服从标准正态分布，求 $P(X > 1)$。
- 解答：利用标准正态分布表或计算器，得到 $P(X > 1) \approx 0.1587$。
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