今日考研数学题：若函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + a$在$x=1$处取得极值，求$a$的值。
解题过程：
1. 求导：$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$。
2. 令$f'(x) = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 3$。
3. 根据极值的定义，当$x=1$时，$f(x)$取得极值。因此，$f''(1) \cdot (x_2 - x_1) = 0$，即$f''(1) \cdot (3 - 1) = 0$。
4. 求二阶导数：$f''(x) = 6x - 12$。
5. 将$x=1$代入$f''(x)$，得$f''(1) = -6$。
6. 由$f''(1) \cdot (3 - 1) = 0$，得$-6 \cdot 2 = 0$，解得$a = -12$。
答案：$a = -12$。
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