线性方程组的考研真题往往考察考生对基础理论的理解和实际应用能力。以下是一份原创的线性方程组考研真题解析：
真题：设线性方程组
\[ \begin{cases}
x_1 + 2x_2 - x_3 = 1 \\
2x_1 - 4x_2 + 3x_3 = 2 \\
x_1 - 2x_2 + x_3 = 0
\end{cases} \]
的系数矩阵为 \(A\)，求该方程组的通解。
解析：首先，对系数矩阵 \(A\) 进行初等行变换，化简为行阶梯形式，以便确定方程组的解的情况。
通过初等行变换，矩阵 \(A\) 转化为：
\[ \begin{bmatrix}
1 & 2 & -1 \\
0 & -1 & 5 \\
0 & 0 & 0
\end{bmatrix} \]
由于最后一行是全零行，因此方程组存在非零解。根据矩阵的秩，\(r(A) = 2\)，而未知数个数为3，故 \(n-r(A) = 1\)。这表明方程组有1个自由变量。
设 \(x_3 = t\)（\(t\) 为任意常数），则 \(x_1 = 2x_2 - t\)。因此，方程组的通解可以表示为：
\[ \begin{bmatrix}
x_1 \\
x_2 \\
x_3
\end{bmatrix} = \begin{bmatrix}
2t - t \\
t \\
t
\end{bmatrix} = t\begin{bmatrix}
1 \\
1 \\
1
\end{bmatrix} \]
其中，\(t\) 为任意常数。
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