数学二考研真题解析如下：
1. 真题一：设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求$f(x)$的极值点。
解析：首先求导数$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$，令$f'(x) = 0$得$x = 1$或$x = 3$。然后求二阶导数$f''(x) = 6x - 12$，代入$x = 1$和$x = 3$得$f''(1) = -6$，$f''(3) = 6$。由于$f''(1) < 0$，故$x = 1$是极大值点；$f''(3) > 0$，故$x = 3$是极小值点。
2. 真题二：已知矩阵$\boldsymbol{A} = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}$的特征值和特征向量。
解析：计算特征多项式$\det(\lambda \boldsymbol{E} - \boldsymbol{A}) = (\lambda - 1)(\lambda - 5) = 0$，得特征值$\lambda_1 = 1$，$\lambda_2 = 5$。对于$\lambda_1 = 1$，解方程组$(\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$得特征向量$\boldsymbol{\alpha}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}$；对于$\lambda_2 = 5$，解方程组$(5\boldsymbol{E} - \boldsymbol{A})\boldsymbol{x} = \mathbf{0}$得特征向量$\boldsymbol{\alpha}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix}$。
3. 真题三：设$A$是$n$阶方阵，$|\boldsymbol{A}| = 0$，证明$A$的任意两个特征值之和为$0$。
解析：设$\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n$是$A$的$n$个特征值，则$|\boldsymbol{A}| = \lambda_1 \lambda_2 \cdots \lambda_n = 0$。由于$|\boldsymbol{A}| = 0$，至少有一个特征值$\lambda_i = 0$。设$\lambda_j$是$A$的另一个特征值，则$\lambda_i + \lambda_j = 0$。
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