在解决考研数学三角积分题时，关键在于熟练掌握积分技巧和三角函数的性质。以下是一个典型例题的解答步骤：
例题：计算定积分 $\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx$。
解答：
1. 选择积分方法：这里可以使用分部积分法，即 $ \int u \, dv = uv - \int v \, du $。
2. 设定 $u$ 和 $dv$：令 $u = x$，则 $du = dx$；令 $dv = \sin x \, dx$，则 $v = -\cos x$。
3. 应用分部积分公式：
\[
\int x \sin x \, dx = -x \cos x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} + \int \cos x \, dx
\]
4. 计算边界值：$-x \cos x$ 在 $0$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的积分结果为 $0$（因为 $\cos 0 = 1$ 和 $\cos \frac{\pi}{2} = 0$）。
5. 计算剩余积分：$\int \cos x \, dx = \sin x$。
6. 合并结果：
\[
\int_0^{\frac{\pi}{2}} x \sin x \, dx = 0 + \sin x \bigg|_0^{\frac{\pi}{2}} = \sin \frac{\pi}{2} - \sin 0 = 1 - 0 = 1
\]
通过以上步骤，我们得到了积分的结果为 $1$。
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