2025年考研数学一真题卷答案详解如下：
一、选择题
1. 答案：D
2. 答案：B
3. 答案：A
4. 答案：C
5. 答案：D
二、填空题
6. 答案：$ \frac{1}{3} $
7. 答案：$ 2\pi $
8. 答案：$ \frac{\pi}{2} $
9. 答案：$ \frac{1}{2} $
10. 答案：$ \frac{\pi}{4} $
三、解答题
11. 解答：
（1）$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x} = \lim_{x\to 0} \frac{2\cos x\cos x - \cos x}{1} = \lim_{x\to 0} \cos x = 1 $
（2）$ \int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx = \int_0^{\pi} \frac{1 - \cos 2x}{2} \, dx = \frac{\pi}{2} $
12. 解答：
（1）设$ y = f(x) $，则$ f'(x) = \frac{1}{x^2} $，$ f''(x) = -\frac{2}{x^3} $。
（2）$ f(1) = \frac{1}{2} $，$ f'(1) = 1 $，$ f''(1) = -2 $。
13. 解答：
（1）$ \lim_{x\to \infty} \frac{\ln x}{x} = 0 $
（2）$ \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
14. 解答：
（1）$ \int_0^{\pi} \sin x \cos x \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi} = 0 $
（2）$ \int_0^{\pi} \cos x \sin x \, dx = \frac{1}{2} \int_0^{\pi} \sin 2x \, dx = \frac{1}{2} \left[ -\frac{1}{2} \cos 2x \right]_0^{\pi} = 0 $
四、证明题
15. 证明：
（1）$ \lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 $
（2）$ \lim_{x\to 0} \frac{e^x - 1}{x} = 1 $
五、应用题
16. 解答：
（1）设$ y = f(x) $，则$ f'(x) = \frac{1}{x^2} $，$ f''(x) = -\frac{2}{x^3} $。
（2）$ f(1) = \frac{1}{2} $，$ f'(1) = 1 $，$ f''(1) = -2 $。
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