在2024年的数学一考研中，一道极具挑战性的原题如下：
设函数$f(x) = x^3 - 6x^2 + 9x + 1$，求$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值和最小值。
解答过程如下：
首先，求出$f(x)$的导数$f'(x)$：
$$f'(x) = 3x^2 - 12x + 9$$
令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$或$x = 3$。
接下来，分析$f'(x)$的符号，以确定$f(x)$的单调性：
当$x \in (0,1)$时，$f'(x) > 0$，函数$f(x)$单调递增；
当$x \in (1,3)$时，$f'(x) < 0$，函数$f(x)$单调递减。
因此，$f(x)$在$x = 1$处取得局部最大值，在$x = 3$处取得局部最小值。
计算$f(1)$和$f(3)$的值：
$$f(1) = 1^3 - 6 \times 1^2 + 9 \times 1 + 1 = 5$$
$$f(3) = 3^3 - 6 \times 3^2 + 9 \times 3 + 1 = -16$$
综上，$f(x)$在区间$[0,3]$上的最大值为5，最小值为-16。
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