2021年考研数学三的最后一题是一道综合性的高难度题目，涉及到了多元函数的极值、偏导数以及二重积分等知识点。具体解题步骤如下：
1. 首先，对给定的函数求一阶偏导数和二阶偏导数。根据多元函数极值的判定条件，找到驻点。
2. 接着，利用二阶偏导数检验驻点是否为极值点。根据Hessian矩阵的判别式，判断驻点是否为极小值点。
3. 然后，将驻点代入原函数，求出驻点处的函数值。比较驻点处的函数值，确定极小值点。
4. 最后，将极小值点代入二重积分中，求出积分的值。
整个解题过程中，需要熟练掌握多元函数的求导、极值判定、二重积分等知识点。对于这类综合题目，考生需要具备较强的逻辑思维能力和计算能力。
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