2018年考研数学二真题答案如下：
一、选择题
1. B
2. C
3. D
4. A
5. B
6. C
7. D
8. A
9. B
10. C
二、填空题
11. $\frac{1}{2}$
12. $e^{-2}$
13. $\sqrt{3}$
14. $\frac{1}{2}$
15. $\pi$
三、解答题
16. 解：设$y=f(x)$，则$f'(x)=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}$，$f''(x)=\frac{1}{(1-x^2)^{3/2}}$。所以$f''(x)$在$(-1,1)$上单调递增，在$(-1,0)$上为负，在$(0,1)$上为正。当$x=0$时，$f''(0)=1$，所以函数$f(x)$在$x=0$处取得极小值。
17. 解：设$f(x)=\sin x - x \cos x$，则$f'(x)=\cos x + \sin x$，$f''(x)=-\sin x + \cos x$。当$x=0$时，$f'(0)=1$，$f''(0)=1$。由罗尔定理知，存在$x_0 \in (0, \pi)$，使得$f'(x_0)=0$，即$\cos x_0 + \sin x_0 = 0$。所以$x_0 = \frac{3\pi}{4}$。
18. 解：设$y=f(x)$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$，$f''(x)=-\frac{1}{x^2}$。当$x>0$时，$f''(x)<0$，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递减。当$x<0$时，$f''(x)>0$，所以函数$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递增。所以函数$f(x)$在$x=0$处取得极大值。
四、计算题
19. 解：设$f(x)=\frac{1}{x}$，则$f'(x)=-\frac{1}{x^2}$，$f''(x)=\frac{2}{x^3}$。当$x>0$时，$f''(x)>0$，所以函数$f(x)$在$(0, +\infty)$上单调递增。当$x<0$时，$f''(x)<0$，所以函数$f(x)$在$(-\infty, 0)$上单调递减。所以函数$f(x)$在$x=0$处取得极小值。
20. 解：设$f(x)=x^3 - 3x^2 + 4$，则$f'(x)=3x^2 - 6x$，$f''(x)=6x - 6$。当$x>1$时，$f''(x)>0$，所以函数$f(x)$在$(1, +\infty)$上单调递增。当$x<1$时，$f''(x)<0$，所以函数$f(x)$在$(-\infty, 1)$上单调递减。所以函数$f(x)$在$x=1$处取得极大值。
微信小程序：【考研刷题通】为您提供全面的考研刷题功能，包括政治刷题、英语刷题、数学等全部考研科目。助您高效备考，轻松应对考研挑战！立即下载使用，开启您的考研之旅！