在2005年的考研数学中，计算二重积分是考察的重点之一。以下是一道具有代表性的题目：
题目：计算二重积分 $\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy$，其中积分区域 $D$ 是由直线 $y = x$ 和曲线 $y = \sqrt{x}$ 所围成的区域。
解题过程如下：
1. 首先确定积分区域 $D$。由题意可知，直线 $y = x$ 和曲线 $y = \sqrt{x}$ 相交于点 $(0,0)$ 和 $(1,1)$，因此积分区域 $D$ 是由这两条曲线所围成的三角形区域。
2. 根据积分区域的对称性，可以将积分区域 $D$ 分为两部分：$D_1$ 和 $D_2$。其中 $D_1$ 是直线 $y = x$ 上方的三角形区域，$D_2$ 是曲线 $y = \sqrt{x}$ 上方的三角形区域。
3. 对 $D_1$ 进行积分，有：
$$\iint_{D_1} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_x^1 (x^2 + y^2) \, dy \, dx$$
$$= \int_0^1 \left[ x^2y + \frac{y^3}{3} \right]_x^1 \, dx$$
$$= \int_0^1 \left( x^2 + \frac{1}{3} - x^3 - \frac{x^3}{3} \right) \, dx$$
$$= \int_0^1 \left( \frac{2}{3} - \frac{4}{3}x^3 \right) \, dx$$
$$= \left[ \frac{2}{3}x - \frac{4}{9}x^4 \right]_0^1$$
$$= \frac{2}{3} - \frac{4}{9}$$
$$= \frac{2}{9}$$
4. 对 $D_2$ 进行积分，有：
$$\iint_{D_2} (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \int_0^1 \int_0^y (x^2 + y^2) \, dx \, dy$$
$$= \int_0^1 \left[ \frac{x^3}{3} + y^2x \right]_0^y \, dy$$
$$= \int_0^1 \left( \frac{y^4}{3} + y^3 \right) \, dy$$
$$= \left[ \frac{y^5}{15} + \frac{y^4}{4} \right]_0^1$$
$$= \frac{1}{15} + \frac{1}{4}$$
$$= \frac{19}{60}$$
5. 将 $D_1$ 和 $D_2$ 的积分结果相加，得到最终答案：
$$\iint_D (x^2 + y^2) \, dx \, dy = \frac{2}{9} + \frac{19}{60} = \frac{37}{60}$$
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