2021年考研数学1真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，在x=0处连续的是（ ）
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = \frac{x}{|x|} \)
C. \( f(x) = \frac{1}{x} \)
D. \( f(x) = \frac{x^2}{x} \)
答案：A
2. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，则 \( f'(x) \) 的零点为（ ）
A. -1
B. 0
C. 1
D. 2
答案：C
3. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 等于（ ）
A. 0
B. 1
C. \(-\frac{1}{2}\)
D. \(\frac{1}{2}\)
答案：D
二、填空题
1. 设 \( f(x) = \frac{1}{x} \)，则 \( f'(x) = \) ________。
答案：\(-\frac{1}{x^2}\)
2. 设 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} = 4 \)，则 \( \lim_{x \to 2} \frac{x^2 - 4}{x - 2} \cdot \frac{1}{x + 2} = \) ________。
答案：2
三、解答题
1. 求函数 \( f(x) = e^x \sin x \) 的极值。
答案：\( f'(x) = e^x(\sin x + \cos x) \)，令 \( f'(x) = 0 \)，得 \( x = -\frac{\pi}{4} \)。当 \( x < -\frac{\pi}{4} \) 时，\( f'(x) < 0 \)；当 \( x > -\frac{\pi}{4} \) 时，\( f'(x) > 0 \)。因此，\( f(x) \) 在 \( x = -\frac{\pi}{4} \) 处取得极小值 \( f(-\frac{\pi}{4}) = -\frac{\sqrt{2}}{2} \)。
2. 求曲线 \( y = x^3 - 3x + 2 \) 在区间 [0, 2] 上的拐点。
答案：\( f'(x) = 3x^2 - 3 \)，\( f''(x) = 6x \)。令 \( f''(x) = 0 \)，得 \( x = 0 \)。当 \( x < 0 \) 时，\( f''(x) < 0 \)；当 \( x > 0 \) 时，\( f''(x) > 0 \)。因此，\( f(x) \) 在 \( x = 0 \) 处取得拐点 \( (0, 2) \)。
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