题目：设函数 \( f(x) = \ln(x+1) - \frac{1}{2}x^2 \)，其中 \( x > -1 \)。求函数 \( f(x) \) 的极值点。
解答：
首先，求出函数 \( f(x) \) 的导数 \( f'(x) \)：
\[ f'(x) = \frac{1}{x+1} - x \]
令 \( f'(x) = 0 \)，解得：
\[ \frac{1}{x+1} - x = 0 \]
\[ \frac{1}{x+1} = x \]
\[ x^2 + x - 1 = 0 \]
使用求根公式解得：
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{1 + 4}}{2} \]
\[ x = \frac{-1 \pm \sqrt{5}}{2} \]
因为 \( x > -1 \)，所以只取正根：
\[ x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \]
接下来，判断这个点的极值性质。计算二阶导数 \( f''(x) \)：
\[ f''(x) = -\frac{1}{(x+1)^2} - 1 \]
在 \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \) 处，\( f''(x) \) 的值为负，说明这是一个极大值点。
因此，函数 \( f(x) \) 的极大值点为 \( x = \frac{-1 + \sqrt{5}}{2} \)。
【考研刷题通】——你的考研刷题好帮手！政治、英语、数学，全科目覆盖，海量真题，精准练习，助你高效备战考研！立即下载，开启你的刷题之旅！微信扫一扫，下载【考研刷题通】！