2019年考研数学二第16题是一道关于线性代数的题目，具体内容如下：
设矩阵 \(A=\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \\ 4 & 5 & 6 \\ 7 & 8 & 9 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答过程如下：
首先，计算矩阵 \(A\) 的特征多项式，即求解方程 \(\det(A - \lambda I) = 0\)，其中 \(I\) 是单位矩阵，\(\lambda\) 是特征值。
\[
\det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 1-\lambda & 2 & 3 \\ 4 & 5-\lambda & 6 \\ 7 & 8 & 9-\lambda \end{bmatrix}
\]
通过行列式展开，得到特征多项式：
\[
(1-\lambda)[(5-\lambda)(9-\lambda) - 48] - 2[4(9-\lambda) - 28] + 3[4(5-\lambda) - 20] = 0
\]
化简后得到：
\[
\lambda^3 - 21\lambda^2 + 105\lambda - 27 = 0
\]
求解上述方程，得到特征值 \(\lambda_1 = 3, \lambda_2 = 6, \lambda_3 = 9\)。
接下来，求对应的特征向量。对于每个特征值，解方程组 \((A - \lambda I)x = 0\)。
对于 \(\lambda_1 = 3\)，方程组变为：
\[
\begin{bmatrix} -2 & 2 & 3 \\ 4 & 2 & 6 \\ 7 & 8 & 6 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}
\]
解得特征向量 \(x_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}\)。
同理，对于 \(\lambda_2 = 6\) 和 \(\lambda_3 = 9\)，可以分别求得特征向量 \(x_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}\) 和 \(x_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}\)。
综上，矩阵 \(A\) 的特征值为 \(3, 6, 9\)，对应的特征向量分别为 \(\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}\)。
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