考研数学三2010年真题解析如下：
一、选择题部分
1. 选项A：函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上必有最大值和最小值。正确。
2. 选项B：若数列{an}单调递增，则极限lim(n→∞)an=∞。错误。
3. 选项C：若向量a和向量b垂直，则a·b=0。正确。
4. 选项D：若函数f(x)在区间[a, b]上可导，则f(x)在区间[a, b]上有极值。错误。
二、填空题部分
1. 设函数f(x)在区间[a, b]上连续，则f(x)在区间[a, b]上的定积分存在。
2. 设函数f(x)在区间[a, b]上可导，则f(x)在区间[a, b]上的定积分等于f(x)在区间[a, b]上的平均值乘以区间长度。
3. 设向量a=(1, 2, 3)，向量b=(4, 5, 6)，则向量a和向量b的点积为32。
三、解答题部分
1. 解析几何题：求圆心在原点，半径为2的圆的方程。
解：设圆心为O，圆上任意一点为P(x, y)，则|OP|=2。根据距离公式，有：
√(x^2 + y^2) = 2
平方两边得：
x^2 + y^2 = 4
所以圆的方程为x^2 + y^2 = 4。
2. 微积分题：求函数f(x)在区间[a, b]上的定积分。
解：设函数f(x)在区间[a, b]上可导，则定积分F(x) = ∫f(x)dx存在。根据微积分基本定理，有：
F(b) - F(a) = ∫f(x)dx
所以，函数f(x)在区间[a, b]上的定积分等于F(b) - F(a)。
3. 线性代数题：求线性方程组Ax=b的解。
解：首先，求出增广矩阵(A|b)的秩，若秩(A|b) = 秩(A)，则方程组有解。然后，将增广矩阵转化为行最简形矩阵，求出解向量x。
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