2015年考研数学二真题讲解如下：
一、选择题
1. 题目：已知函数$f(x) = \frac{1}{x^2 - 1}$，求$f(x)$的导数$f'(x)$。
解答：$f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{1}{x^2 - 1} \right) = \frac{-2x}{(x^2 - 1)^2}$。
2. 题目：设$a, b, c$为等差数列，且$a + b + c = 9$，求$a^2 + b^2 + c^2$的值。
解答：由等差数列的性质得$a + b + c = 3a$，则$a = 3$。因此，$a^2 + b^2 + c^2 = (a + b + c)^2 - 2(ab + bc + ca) = 9^2 - 2 \cdot 3 \cdot 3 \cdot 3 = 27$。
二、填空题
1. 题目：设函数$f(x) = \ln(x + 1)$，求$f'(0)$。
解答：$f'(x) = \frac{1}{x + 1}$，所以$f'(0) = \frac{1}{0 + 1} = 1$。
2. 题目：设$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，求$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2}$。
解答：由$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$，得$\lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{\sin^2 x} \cdot \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = -\frac{1}{2}$。
三、解答题
1. 题目：证明$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \tan^2 x} \, dx = \frac{\pi}{4}$。
解答：令$t = \tan x$，则$dt = \sec^2 x \, dx$。当$x = 0$时，$t = 0$；当$x = \frac{\pi}{2}$时，$t$不存在。因此，$\int_0^{\frac{\pi}{2}} \frac{1}{1 + \tan^2 x} \, dx = \int_0^{\infty} \frac{1}{1 + t^2} \, dt = \frac{\pi}{2}$。
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