在2023年考研数学二真题中，以下是一些典型题目的答案示例：
1. 选择题：
- 题目：设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$，求$f(x)$的极值。
- 答案：$f(x)$在$x=1$处取得极大值$f(1)=1$。
2. 填空题：
- 题目：若级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$也收敛。
- 答案：正确。
3. 解答题：
- 题目：计算定积分$\int_0^{\pi} x^2 \sin x \, dx$。
- 答案：$-\frac{\pi^3}{3}$。
4. 证明题：
- 题目：证明函数$f(x) = x^3 - 3x + 2$在区间$[-1, 1]$上至少有一个零点。
- 答案：利用罗尔定理，$f(-1) = -2$，$f(1) = 0$，且$f(x)$在$[-1, 1]$上连续可导，故存在$c \in (-1, 1)$使得$f'(c) = 0$。
5. 应用题：
- 题目：某工厂生产一种产品，其成本函数为$C(x) = 1000 + 10x + 0.5x^2$，其中$x$为产量。求生产1000个产品的总成本。
- 答案：$C(1000) = 1000 + 10 \times 1000 + 0.5 \times 1000^2 = 1050000$。
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