2019年考研数学二第21题是一道综合运用极限与导数知识的难题。该题首先要求考生求出给定函数的极限，接着利用极限的结果求解导数。以下是具体的解题步骤：
解题步骤：
1. 求极限：观察函数，发现分子分母均为无穷大，故使用洛必达法则。对分子分母同时求导，得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x - 1}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x}
\]
再次使用洛必达法则，得到：
\[
\lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{e^x}{2} = \frac{1}{2}
\]
2. 求导数：已知极限为$\frac{1}{2}$，要求导数，对函数$e^x - 1$求导，得到：
\[
(e^x - 1)' = e^x
\]
由于导数的结果与$x$无关，故原函数的导数为$e^x - 1$。
答案：$e^x - 1$
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