题目：已知函数$f(x)=x^3-3x^2+4x+6$，求$f(x)$的极值。
解答：
首先，求出$f(x)$的一阶导数$f'(x)$：
$$f'(x)=3x^2-6x+4$$
令$f'(x)=0$，解得$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$。
接下来，求出$f(x)$的二阶导数$f''(x)$：
$$f''(x)=6x-6$$
代入$x_1=1$和$x_2=\frac{2}{3}$，得到$f''(1)=-6$，$f''(\frac{2}{3})=0$。
由于$f''(1)<0$，所以$x=1$是$f(x)$的极大值点，$f(1)=1^3-3\times1^2+4\times1+6=10$。
由于$f''(\frac{2}{3})=0$，需要进一步分析$f''(x)$在$x=\frac{2}{3}$附近的符号。当$x<\frac{2}{3}$时，$f''(x)<0$；当$x>\frac{2}{3}$时，$f''(x)>0$。因此，$x=\frac{2}{3}$是$f(x)$的极小值点，$f(\frac{2}{3})=(\frac{2}{3})^3-3\times(\frac{2}{3})^2+4\times\frac{2}{3}+6=\frac{58}{27}$。
综上所述，$f(x)$的极大值为10，极小值为$\frac{58}{27}$。
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