在2023年考研数学一卷中，考生们面对的题目既考验了基础知识，又注重了应用能力。以下是对几道典型题目的原创解答：
1. 线性代数问题：设矩阵 \(A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\)，求矩阵 \(A\) 的特征值和特征向量。
解答：首先计算特征多项式 \( \det(A - \lambda I) = 0 \)，解得特征值 \( \lambda_1 = 2, \lambda_2 = 6 \)。接着，分别求出对应特征向量，得到 \( A \) 的特征向量为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} \)。
2. 概率论问题：某事件 \(A\) 的概率 \(P(A) = 0.3\)，事件 \(B\) 与 \(A\) 独立，求 \(P(A \cap B)\)。
解答：由于 \(A\) 和 \(B\) 独立，\(P(A \cap B) = P(A) \times P(B) = 0.3 \times 1 = 0.3\)。
3. 微积分问题：计算定积分 \(\int_0^1 x^2 e^x \, dx\)。
解答：使用分部积分法，设 \(u = x^2\)，\(dv = e^x dx\)，则 \(du = 2x dx\)，\(v = e^x\)。根据分部积分公式，得到 \(\int x^2 e^x \, dx = x^2 e^x - \int 2x e^x \, dx\)。再次使用分部积分，最终得到 \(\int_0^1 x^2 e^x \, dx = 1 - e\)。
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