2008年考研数学三真题解析如下：
一、选择题解析
1. 题目解析：本题主要考察了线性代数中的矩阵运算。
答案：D
解析：通过初等行变换，将矩阵转化为行阶梯形矩阵，然后求出矩阵的秩，即可得到答案。
2. 题目解析：本题主要考察了概率论中的随机变量分布。
答案：B
解析：根据随机变量的定义和分布律，计算随机变量的期望和方差，即可得到答案。
二、填空题解析
1. 题目解析：本题主要考察了微积分中的极限运算。
答案：$\frac{1}{2}$
解析：根据极限的定义和洛必达法则，求出极限的值。
2. 题目解析：本题主要考察了线性代数中的线性方程组。
答案：$x_1 = 1, x_2 = 2, x_3 = 3$
解析：根据线性方程组的解法，求解出未知数的值。
三、解答题解析
1. 题目解析：本题主要考察了线性代数中的矩阵运算和特征值、特征向量。
答案：$A$ 的特征值为 $2, 2, 2, 2$，特征向量为 $\begin{pmatrix}1\\0\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\1\\0\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\1\\0\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}0\\0\\0\\1\end{pmatrix}$。
解析：首先求出矩阵 $A$ 的特征值和特征向量，然后根据特征向量的线性无关性，构造出特征向量组，从而得到特征向量的表达式。
2. 题目解析：本题主要考察了概率论中的随机变量分布和随机变量的期望。
答案：$X$ 的分布函数为 $F(x) = \begin{cases}0, & x < 0 \\ \frac{x}{2}, & 0 \leq x < 1 \\ 1, & x \geq 1\end{cases}$，$E(X) = \frac{1}{2}$。
解析：根据随机变量的定义和分布函数，求出随机变量的期望。
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