2016年考研数学一真题解析如下：
一、选择题
1. 求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3}$ 的值。
答案：$\frac{1}{6}$
解析：这是一个基本的极限问题，使用洛必达法则求解。
2. 设函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，求 $f'(x)$。
答案：$3x^2 - 6x + 4$
解析：对 $f(x)$ 进行求导。
3. 求不定积分 $\int \frac{x}{x^2 - 1} dx$。
答案：$\frac{1}{2} \ln |x^2 - 1| + C$
解析：使用部分分式分解求解。
4. 已知函数 $f(x) = e^x + 2x^2 - 3$，求 $f'(1)$。
答案：$e + 4$
解析：对 $f(x)$ 进行求导，然后代入 $x = 1$。
5. 求函数 $f(x) = \frac{1}{x} - \ln x$ 的极值。
答案：极小值为 $-1$，极大值为 $0$。
解析：对 $f(x)$ 进行求导，求出导数的零点，然后判断极值。
二、填空题
6. 设 $a > 0$，则 $\lim_{x \to \infty} \frac{\ln x}{x^a}$ 的值为 $\boxed{0}$。
解析：当 $x \to \infty$ 时，$\ln x$ 的增长速度远小于 $x^a$，因此极限值为 $0$。
7. 设 $f(x) = e^x - 2x + 1$，则 $f'(x) = \boxed{e^x - 2}$。
解析：对 $f(x)$ 进行求导。
8. 设 $f(x) = \frac{x}{x^2 + 1}$，则 $f'(x) = \boxed{\frac{1 - x^2}{(x^2 + 1)^2}}$。
解析：对 $f(x)$ 进行求导。
三、解答题
9. 求不定积分 $\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$。
答案：$\arctan x + C$
解析：使用基本积分公式求解。
10. 求函数 $f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$ 的导数 $f'(x)$，并求出 $f'(x)$ 的零点。
答案：$f'(x) = 3x^2 - 6x + 4$，零点为 $x = 1$ 和 $x = \frac{2}{3}$。
解析：对 $f(x)$ 进行求导，然后求解导数的零点。
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