2021年考研数学真题解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. -2 B. -1 C. 0 D. 1
答案：C
2. 若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin x}{x} = 1$，则$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{\sin 2x}{x}$的值为（ ）
A. 2 B. 0 C. 1 D. 无穷大
答案：A
3. 设$A$是$n$阶方阵，且$A^2 = 0$，则$A$的秩$r(A)$的值为（ ）
A. 0 B. 1 C. $n-1$ D. $n$
答案：C
二、填空题
1. 设$f(x) = \ln x$，则$f'(1)$的值为______。
答案：$1$
2. 设$a, b$为实数，且$a^2 + b^2 = 1$，则$\sin^2 a + \cos^2 b$的值为______。
答案：1
三、解答题
1. 解微分方程$\frac{dy}{dx} = 2x^2 + y^2$。
答案：$y = \frac{1}{C - x^3}$
2. 设$A$是$n$阶方阵，且$A^2 = A$，证明$A$可逆。
答案：$A^2 = A \Rightarrow A(A - E) = 0$，其中$E$是单位矩阵。由于$A$是$n$阶方阵，所以$r(A) = n$，即$A$可逆。
3. 求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 4x - 1$的极值。
答案：极大值点为$x = 1$，极小值点为$x = 2$。
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