2009年考研数学18题的解题思路如下：
题目：设函数$f(x) = \frac{1}{x} - \ln(x)$，其中$x > 0$，求$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值。
解题步骤：
1. 求导：对$f(x)$求导得$f'(x) = -\frac{1}{x^2} - \frac{1}{x}$。
2. 求驻点：令$f'(x) = 0$，解得$x = 1$。
3. 求二阶导数：对$f'(x)$求导得$f''(x) = \frac{2}{x^3} + \frac{1}{x^2}$。
4. 求极值：由$f''(x) > 0$，知$x = 1$是$f(x)$的极小值点。
5. 求最大值：在区间$(0, +\infty)$上，$f(x)$单调递减，因此$f(x)$的最大值为$f(1) = 1 - \ln(1) = 1$。
答案：$f(x)$在区间$(0, +\infty)$上的最大值为1。
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