题目：求极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2}$。
解题过程：
首先，观察到分子中的$\sin 2x - 2x$是一个无穷小减无穷小的情况，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解这个极限。
应用洛必达法则，我们对分子和分母同时求导，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2} = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{d}{dx}(\sin 2x - 2x)}{\frac{d}{dx}(x^2)} = \lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{2x}.$$
再次观察，此时分子又是一个无穷小减无穷小的情况，我们可以继续使用洛必达法则。再次对分子和分母求导，得到：
$$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2}{2x} = \lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x}{2} = \lim_{x \to 0} -2\sin 2x.$$
由于$\sin 2x$在$x$趋近于0时的极限为0，所以我们可以得到最终答案：
$$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - 2x}{x^2} = -2 \times 0 = 0.$$
微信考研刷题小程序：【考研刷题通】，覆盖政治、英语、数学等全部考研科目，助你高效刷题，备战考研！立即体验，开启你的考研之旅！【考研刷题通】