在数学专业的考研备考中，试题的深度与广度都是检验考生综合能力的重要标准。以下是一组原创的数学专业考研试题及答案，旨在帮助考生巩固知识点，提升解题技巧。
试题一：线性代数
题目：设矩阵 \( A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \)，求矩阵 \( A \) 的特征值和特征向量。
答案：特征值 \( \lambda_1 = 5, \lambda_2 = -1 \)。对应的特征向量分别为 \( \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \end{bmatrix} \) 和 \( \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \end{bmatrix} \)。
试题二：概率论与数理统计
题目：设随机变量 \( X \) 服从参数为 \( \lambda \) 的泊松分布，已知 \( P(X=2) = 0.2 \)，求 \( \lambda \) 的值。
答案：由 \( P(X=2) = \frac{e^{-\lambda} \lambda^2}{2!} = 0.2 \) 解得 \( \lambda = 2 \)。
试题三：实变函数
题目：证明：若函数 \( f(x) \) 在区间 \([a, b]\) 上连续，则存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a) \)。
答案：利用积分中值定理，存在 \( \xi \in (a, b) \)，使得 \( \int_a^b f(x) \, dx = f(\xi)(b-a) \)。
试题四：复变函数
题目：设 \( f(z) = u(x, y) + iv(x, y) \) 是一个解析函数，其中 \( u(x, y) = x^2 - y^2 \)，求 \( v(x, y) \)。
答案：由 \( \frac{\partial u}{\partial x} = \frac{\partial v}{\partial y} \) 和 \( \frac{\partial u}{\partial y} = -\frac{\partial v}{\partial x} \)，得 \( v(x, y) = xy \)。
试题五：常微分方程
题目：求解微分方程 \( y'' - 2y' + 2y = 0 \)。
答案：特征方程 \( r^2 - 2r + 2 = 0 \) 的解为 \( r = 1 \pm i \)，因此通解为 \( y = e^x(C_1 \cos x + C_2 \sin x) \)。
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