在2017年考研数学二的试卷中，考生们面临着一系列挑战。以下是对其中几道典型题目的答案解析：
1. 题目：计算极限 $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x^2}$
解答：利用三角函数的泰勒展开，我们有 $\sin(2x) = 2x - \frac{(2x)^3}{3!} + O(x^5)$ 和 $\sin(x) = x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5)$。因此，
$$\frac{\sin(2x) - \sin(x)}{x^2} = \frac{(2x - \frac{(2x)^3}{3!} + O(x^5)) - (x - \frac{x^3}{3!} + O(x^5))}{x^2} = \frac{x - \frac{8x^3}{3!} + O(x^5)}{x^2} = \frac{1}{3} - \frac{8x^2}{6} + O(x^4)$$
当 $x \to 0$ 时，上式的极限为 $\frac{1}{3}$。
2. 题目：求微分方程 $\frac{dy}{dx} = e^x - 2xy$ 的通解。
解答：首先，这是一个一阶线性微分方程。使用通解公式，我们有：
$$y = e^{-\int 2x dx} \left(\int e^x \cdot e^{\int 2x dx} dx + C\right) = \frac{1}{e^{2x}} \left(\int e^x e^{2x} dx + C\right) = \frac{1}{e^{2x}} \left(\int e^{3x} dx + C\right)$$
$$= \frac{1}{e^{2x}} \left(\frac{1}{3} e^{3x} + C\right) = \frac{1}{3} \left(e^x + Ce^{2x}\right)$$
因此，微分方程的通解为 $y = \frac{1}{3} \left(e^x + Ce^{2x}\right)$。
3. 题目：设 $f(x) = \int_0^x \frac{\sin t}{t} dt$，求 $f''(x)$。
解答：首先，求出 $f'(x)$，有：
$$f'(x) = \frac{\sin x}{x}$$
然后，对 $f'(x)$ 再次求导得到 $f''(x)$，使用莱布尼茨法则：
$$f''(x) = \left(\frac{\sin x}{x}\right)' = \frac{x\cos x - \sin x}{x^2}$$
这就是 $f''(x)$ 的表达式。
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