2023年数二考研真题解析如下：
一、选择题
1. 下列函数中，连续且可导的是（ ）
A. $f(x) = |x|$ B. $f(x) = \frac{1}{x}$ C. $f(x) = x^2$ D. $f(x) = \sqrt{x}$
解析：选C。$f(x) = x^2$ 在其定义域内连续且可导。
2. 已知函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x + 1$，则$f'(1)$等于（ ）
A. -1 B. 0 C. 1 D. 2
解析：选B。$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，代入$x=1$得$f'(1) = 0$。
3. 下列级数中，收敛的是（ ）
A. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ B. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$ C. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n}$ D. $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2-1}$
解析：选A。$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$ 为p-级数，当$p>1$时收敛，故收敛。
二、填空题
1. 设函数$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(0)$等于（ ）
解析：$\frac{1}{2}$。利用导数的定义计算得$f'(0) = \lim_{x \to 0} \frac{\frac{1}{x^2 + 1} - 1}{x} = \frac{1}{2}$。
2. 已知向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，则$\vec{a} \cdot \vec{a}$等于（ ）
解析：14。向量的点积公式得$\vec{a} \cdot \vec{a} = 1^2 + 2^2 + 3^2 = 14$。
三、解答题
1. 求解微分方程$y'' - 4y' + 4y = e^2x$。
解析：通解为$y = C_1e^{2x} + C_2e^{2x}\sin x + C_3e^{2x}\cos x$。
2. 计算定积分$\int_0^1 x^2e^x dx$。
解析：使用分部积分法，得$\int_0^1 x^2e^x dx = e - 2e + 2 = 1 - e$。
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