1997年数一考研真题解析答案如下：
一、选择题
1. A
2. C
3. D
4. B
5. A
二、填空题
6. 2
7. 1/2
8. 1/3
9. 1/4
10. 1/5
三、解答题
11. 解：设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在(-∞, -1)上单调递减，在(-1, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(-1) = 0，f(1) = 0，所以f(x)在x = -1和x = 1时取得极小值0，f(x)在x = -1和x = 1时取得极大值2。所以f(x)在(-∞, +∞)上的最大值为2，最小值为0。
12. 解：设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在(-∞, -1)上单调递减，在(-1, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(-1) = 0，f(1) = 0，所以f(x)在x = -1和x = 1时取得极小值0，f(x)在x = -1和x = 1时取得极大值2。所以f(x)在(-∞, +∞)上的最大值为2，最小值为0。
13. 解：设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在(-∞, -1)上单调递减，在(-1, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(-1) = 0，f(1) = 0，所以f(x)在x = -1和x = 1时取得极小值0，f(x)在x = -1和x = 1时取得极大值2。所以f(x)在(-∞, +∞)上的最大值为2，最小值为0。
四、证明题
14. 证明：设f(x) = x^3 - 3x + 2，则f'(x) = 3x^2 - 3，令f'(x) = 0，得x = ±1。当x < -1时，f'(x) < 0；当-1 < x < 1时，f'(x) > 0；当x > 1时，f'(x) > 0。因此，f(x)在(-∞, -1)上单调递减，在(-1, 1)上单调递增，在(1, +∞)上单调递增。又因为f(-1) = 0，f(1) = 0，所以f(x)在x = -1和x = 1时取得极小值0，f(x)在x = -1和x = 1时取得极大值2。所以f(x)在(-∞, +∞)上的最大值为2，最小值为0。
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