2011年考研数学2真题解析如下：
一、选择题
1. 真题回顾：求函数$f(x)=x^3-3x+2$在$x=1$处的导数。
答案解析：根据导数的定义，$f'(1)=\lim_{x\to 1}\frac{f(x)-f(1)}{x-1}=\lim_{x\to 1}\frac{x^3-3x+2-2}{x-1}=\lim_{x\to 1}(x^2-3)=1$。
2. 真题回顾：求曲线$y=x^2+2x$在点$(1,3)$处的切线方程。
答案解析：先求导数，$y'=2x+2$，代入$x=1$得$y'(1)=4$。切线方程为$y-3=4(x-1)$，即$y=4x-1$。
二、填空题
1. 真题回顾：已知$f(x)=\ln(x+1)$，求$f'(0)$。
答案解析：根据导数的定义，$f'(x)=\frac{1}{x+1}$，代入$x=0$得$f'(0)=1$。
2. 真题回顾：设$a>0$，$b>0$，$a+b=1$，求$\lim_{x\to 0}\frac{a\sin x+b\cos x}{x}$。
答案解析：根据导数的定义，$\lim_{x\to 0}\frac{a\sin x+b\cos x}{x}=\lim_{x\to 0}\frac{a\cos x-b\sin x}{x^2}=\lim_{x\to 0}\frac{-a\sin x-b\cos x}{2x}=\frac{1}{2}$。
三、解答题
1. 真题回顾：证明：$\int_0^1{\frac{x^2}{x^2+1}}dx=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$。
答案解析：令$x=\tan t$，则$dx=\sec^2 t dt$，当$x=0$时，$t=0$；当$x=1$时，$t=\frac{\pi}{4}$。原式可转化为$\int_0^{\frac{\pi}{4}}{\frac{\tan^2 t}{\tan^2 t+1}}\sec^2 t dt=\int_0^{\frac{\pi}{4}}{\tan^2 t dt}=\frac{\pi}{4}-\frac{1}{2}\ln 2$。
2. 真题回顾：求极限$\lim_{n\to\infty}\frac{\sqrt{n^2+n+1}-n}{\sqrt{n^2+n+1}+n}$。
答案解析：分子分母同时乘以$\sqrt{n^2+n+1}+n$，得$\lim_{n\to\infty}\frac{n^2+n+1-n^2}{n^2+n+1+n^2+n}=\lim_{n\to\infty}\frac{1}{2n+1}=\frac{1}{2}$。
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