2019年考研数学一真题及答案解析如下：
一、选择题
1. 设函数$f(x)=\ln x$，则$f'(x)=\frac{1}{x}$。
2. 下列函数中，连续函数是$\sin x$。
3. 函数$f(x)=x^3-3x$的极值点为$x=0$。
4. 若矩阵$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$\boldsymbol{A}^2=\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 22 \end{bmatrix}$。
5. 设$a$，$b$为实数，若$\sqrt{a^2+b^2}=2$，则$a^2+b^2\geq 4$。
二、填空题
1. 若$f(x)=x^3+3x$，则$f'(x)=3x^2+3$。
2. 设$a$，$b$为实数，若$\ln(a+b)=\ln a+\ln b$，则$a$，$b$的取值范围是$(0,+\infty)$。
3. 设$a$，$b$为实数，若$\lim_{x\rightarrow 0}\frac{a\sin x+b\cos x}{x}=1$，则$a=0$，$b=1$。
4. 设$a$，$b$为实数，若$\int_0^1(x^2+2x+1)dx=a+b$，则$a=1$，$b=1$。
5. 设$f(x)=x^3+3x^2+3x+1$，则$f(-1)=-2$。
三、解答题
1. 设$f(x)=\ln x$，求$f(x)$的导数。
解：$f'(x)=\frac{1}{x}$。
2. 设$f(x)=\sin x$，求$f(x)$在$x=\frac{\pi}{2}$处的切线方程。
解：$f'(x)=\cos x$，$f'\left(\frac{\pi}{2}\right)=0$，$f\left(\frac{\pi}{2}\right)=1$。
切线方程为$y=1$。
3. 设$a$，$b$为实数，若$f(x)=ax^2+bx+c$在$x=1$处取得极值，求$a$，$b$，$c$。
解：$f'(x)=2ax+b$，$f'(1)=0$，$2a+b=0$。
由$f(1)=a+b+c$，$f(1)=0$，得$a=-1$，$b=2$，$c=3$。
4. 设$\boldsymbol{A}=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$\boldsymbol{A}^3$。
解：$\boldsymbol{A}^3=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}\cdot\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 37 & 74 \\ 111 & 222 \end{bmatrix}$。
5. 设$f(x)=x^3+3x^2+3x+1$，求$f(x)$在$x=0$处的二阶导数。
解：$f'(x)=3x^2+6x+3$，$f''(x)=6x+6$，$f''(0)=6$。
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