2011年考研数学三真题讲解如下：
一、选择题
1. 题目：设函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$，则$f'(1)$的值为多少？
解答：首先求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，代入$x=1$得$f'(1) = 3 - 6 + 2 = -1$。
2. 题目：已知向量$\vec{a} = (1, 2, 3)$，$\vec{b} = (2, 1, -1)$，求$\vec{a} \cdot \vec{b}$。
解答：向量点积公式为$\vec{a} \cdot \vec{b} = a_1b_1 + a_2b_2 + a_3b_3$，代入数值得$\vec{a} \cdot \vec{b} = 1 \times 2 + 2 \times 1 + 3 \times (-1) = 2 + 2 - 3 = 1$。
二、填空题
1. 题目：设$f(x) = \frac{1}{x^2 + 1}$，则$f'(x)$的表达式为$\frac{-2x}{(x^2 + 1)^2}$。
2. 题目：已知矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式为$2$。
三、解答题
1. 题目：求极限$\lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - x^2}{x^3}$。
解答：利用洛必达法则，求导数得$\lim_{x \to 0} \frac{2\cos 2x - 2x}{3x^2}$，再次求导得$\lim_{x \to 0} \frac{-4\sin 2x - 2}{6x}$，代入$x=0$得$\frac{-2}{0}$，极限不存在。
2. 题目：求函数$f(x) = x^3 - 3x^2 + 2x$的极值。
解答：求导得$f'(x) = 3x^2 - 6x + 2$，令$f'(x) = 0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，函数单调递增；当$\frac{2}{3}
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