在考研高数中，以下是一道经典的积分题目：
题目：计算不定积分 $\int \frac{e^x}{x^2+1} \, dx$。
解题过程如下：
首先，我们观察到被积函数 $\frac{e^x}{x^2+1}$ 中含有指数函数和多项式，因此我们可以尝试使用分部积分法。设 $u = e^x$，则 $du = e^x \, dx$；设 $dv = \frac{1}{x^2+1} \, dx$，则 $v = \arctan x$。
根据分部积分法，我们有：
$$\int u \, dv = uv - \int v \, du$$
将 $u$、$du$、$v$ 和 $dv$ 代入上述公式，得到：
$$\int \frac{e^x}{x^2+1} \, dx = e^x \arctan x - \int \arctan x \cdot e^x \, dx$$
接下来，我们需要计算 $\int \arctan x \cdot e^x \, dx$。为了简化积分，我们可以再次使用分部积分法。设 $u = \arctan x$，则 $du = \frac{1}{1+x^2} \, dx$；设 $dv = e^x \, dx$，则 $v = e^x$。
将 $u$、$du$、$v$ 和 $dv$ 代入分部积分公式，得到：
$$\int \arctan x \cdot e^x \, dx = e^x \arctan x - \int \frac{e^x}{1+x^2} \, dx$$
将上述结果代入原积分，得到：
$$\int \frac{e^x}{x^2+1} \, dx = e^x \arctan x - \left(e^x \arctan x - \int \frac{e^x}{1+x^2} \, dx\right)$$
化简得到：
$$\int \frac{e^x}{x^2+1} \, dx = \frac{1}{2} e^x \arctan x + C$$
其中 $C$ 为积分常数。
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