在考研高数中，最难题目通常涉及复杂的数学概念和技巧，以下是一道典型的难题示例：
题目：设函数 \( f(x) = \frac{e^x}{1+x^2} \)，求 \( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式。
解答：首先求出 \( f(x) \) 的各阶导数，再利用泰勒公式进行展开。具体过程如下：
1. \( f'(x) = \frac{e^x(1+x^2) - 2xe^x}{(1+x^2)^2} \)
2. \( f''(x) = \frac{e^x(1+x^2)^2 - 4xe^x(1+x^2) + 4x^2e^x}{(1+x^2)^3} \)
3. \( f'''(x) = \frac{e^x(1+x^2)^3 - 12xe^x(1+x^2)^2 + 24x^2e^x(1+x^2) - 16x^3e^x}{(1+x^2)^4} \)
...
根据泰勒公式，\( f(x) \) 在 \( x=0 \) 处的泰勒展开式为：
\[ f(x) = f(0) + f'(0)x + \frac{f''(0)}{2!}x^2 + \frac{f'''(0)}{3!}x^3 + \cdots \]
通过计算各阶导数在 \( x=0 \) 处的值，代入上述公式，即可得到 \( f(x) \) 的泰勒展开式。
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