考研数学二的试卷和答案如下：
【试卷】
一、选择题（每题5分，共20分）
1. 下列函数中，可导的函数是：
A. \( f(x) = |x| \)
B. \( f(x) = x^2 \)
C. \( f(x) = x^3 \)
D. \( f(x) = x \sin x \)
2. 设 \( f(x) = x^3 - 6x + 9 \)，则 \( f'(1) \) 的值为：
A. 1
B. -1
C. 0
D. 3
3. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x - \sin x}{x^2} \) 存在，则该极限值为：
A. 2
B. 1
C. 0
D. -1
4. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( \det(A) \neq 0 \)，则 \( A \) 的逆矩阵 \( A^{-1} \) 存在，其行列式为：
A. \( \frac{1}{\det(A)} \)
B. \( \det(A) \)
C. \( \frac{\det(A)}{n} \)
D. \( n\det(A) \)
5. 设 \( f(x) = e^x - x \)，则 \( f(x) \) 的拐点为：
A. \( (0, 1) \)
B. \( (1, 0) \)
C. \( (0, 0) \)
D. \( (1, 1) \)
二、填空题（每题5分，共25分）
6. \( \int x^3 e^x \, dx \) 的原函数为 _______。
7. \( \lim_{x \to 0} \frac{\tan x - \sin x}{x^3} = \) _______。
8. 设 \( A \) 为 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( A \) 的伴随矩阵为 \( A^* \)，若 \( \det(A) = 3 \)，则 \( \det(A^*) = \) _______。
9. 若 \( f(x) = e^x - 2x \)，则 \( f''(x) = \) _______。
10. \( \lim_{x \to 2} \frac{x^3 - 8}{x - 2} \) 的值为 _______。
三、解答题（共55分）
11.（15分）计算下列极限：
\( \lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+x) - \sin x}{x^2} \)
12.（15分）已知函数 \( f(x) = x^3 - 3x + 2 \)，求 \( f(x) \) 的极值点和拐点。
13.（25分）设 \( A \) 是 \( 3 \times 3 \) 矩阵，\( \alpha = \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{pmatrix} \)，\( \beta = \begin{pmatrix} 4 \\ 5 \\ 6 \end{pmatrix} \)，已知 \( \alpha \) 和 \( \beta \) 是 \( A \) 的特征向量，对应特征值分别为 2 和 3，求矩阵 \( A \)。
【答案】
一、选择题
1. D
2. B
3. A
4. A
5. B
二、填空题
6. \( \frac{1}{3}e^x - \frac{x^3}{3} \)
7. \(-\frac{1}{2}\)
8. 27
9. \( e^x - 6 \)
10. 8
三、解答题
11. \(\frac{1}{2}\)
12. 极值点：\( x = 1 \) 和 \( x = -1 \)；拐点：\( x = 1 \) 和 \( x = -1 \)
13. \( A = \begin{pmatrix} 2 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} \)
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