2024年考研数学一试卷解析如下：
一、选择题（每题5分，共40分）
1. 设函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(1)$的值为（ ）
A. -2
B. -1
C. 0
D. 1
【答案】D
2. 设矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^2$的值为（ ）
A. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$
B. $\begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 20 & 28 \end{bmatrix}$
C. $\begin{bmatrix} 7 & 10 \\ 15 & 20 \end{bmatrix}$
D. $\begin{bmatrix} 10 & 14 \\ 20 & 28 \end{bmatrix}$
【答案】A
3. 设级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$（ ）
A. 收敛
B. 发散
C. 收敛或发散
D. 无法确定
【答案】A
4. 设$f(x)$在$x=0$处可导，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$的值为（ ）
A. 0
B. 1
C. $f'(0)$
D. 无法确定
【答案】C
5. 设函数$f(x)=\ln(x+1)$，则$f'(0)$的值为（ ）
A. $\frac{1}{2}$
B. 1
C. $\frac{1}{2}$
D. 无法确定
【答案】B
二、填空题（每题5分，共30分）
6. 设$a>0$，则$\lim_{x \to 0} \frac{\ln(1+ax)}{x}$的值为______。
【答案】a
7. 设$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$，则$f'(2)$的值为______。
【答案】2
8. 设矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，则$A^{-1}$的值为______。
【答案】$\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}$
9. 设级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，则级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^3}$的收敛半径为______。
【答案】$\infty$
10. 设$f(x)$在$x=0$处可导，则$\lim_{x \to 0} \frac{f(x)-f(0)}{x}$的值为______。
【答案】$f'(0)$
三、解答题（共70分）
11. （10分）求函数$f(x)=x^3-3x^2+4x-1$的极值。
【解答】$f'(x)=3x^2-6x+4$，令$f'(x)=0$，解得$x=1$或$x=\frac{2}{3}$。当$x<\frac{2}{3}$时，$f'(x)>0$，$f(x)$单调递增；当$\frac{2}{3}
12. （15分）设矩阵$A=\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$，求$A^{-1}$。
【解答】$A^{-1}=\frac{1}{2}\begin{bmatrix} 4 & -2 \\ -3 & 1 \end{bmatrix}=\begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -\frac{3}{2} & \frac{1}{2} \end{bmatrix}$。
13. （15分）求级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的和。
【解答】由级数收敛的判别法，$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$收敛，且收敛半径为$\infty$。因此，级数$\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2}$的和为$\frac{\pi^2}{6}$。
14. （20分）求函数$f(x)=\ln(x+1)$的导数。
【解答】$f'(x)=\frac{1}{x+1}$。
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