2020年考研数学三试题及答案如下：
一、选择题
1. 设函数 \( f(x) = x^3 - 3x \)，则 \( f'(x) \) 的零点为：
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
2. 若 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1 \)，则 \( \lim_{x \to 0} \frac{\cos x - 1}{x^2} \) 的值为：
A. 0 B. 1 C. -1 D. 2
3. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( A \) 的秩 \( r(A) \) 为：
A. 0 B. 1 C. \( n-1 \) D. \( n \)
4. 设 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，则 \( f(x) \) 的定义域为：
A. \( x \neq 1 \) B. \( x \neq -1 \) C. \( x \neq 0 \) D. \( x \neq 2 \)
5. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 是 \( n \) 阶矩阵，则 \( \det(AB) \) 等于：
A. \( \det(A) \cdot \det(B) \) B. \( \det(A) \) C. \( \det(B) \) D. 0
二、填空题
6. 设 \( f(x) = \ln x \)，则 \( f'(x) = \) __________。
7. 设 \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos x}{x} = \) __________。
8. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，则 \( r(A) \) 的最大值为 __________。
9. 设 \( f(x) = x^2 + 2x + 1 \)，则 \( f'(x) = \) __________。
10. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 是 \( n \) 阶矩阵，则 \( \det(AB) \) 等于 __________。
三、解答题
11. 求函数 \( f(x) = x^3 - 3x \) 的极值。
12. 求极限 \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin x - x}{x^3} \)。
13. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶方阵，且 \( A^2 = 0 \)，证明 \( A \) 的秩 \( r(A) \) 为 \( n-1 \)。
14. 设 \( f(x) = \frac{x^2 - 1}{x - 1} \)，求 \( f(x) \) 的定义域。
15. 设 \( A \) 是 \( n \) 阶可逆矩阵，\( B \) 是 \( n \) 阶矩阵，证明 \( \det(AB) = \det(A) \cdot \det(B) \)。
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