在2021年的考研数学二中，考生们面临了一系列挑战性的题目。以下是对几道典型题目的解析：
1. 极限问题：考察了学生对极限概念的理解和运用。例如，一道题目要求计算$\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x}$，正确答案为1。
2. 导数与微分：题目涉及了高阶导数的计算和微分方程的求解。一道典型题目是求函数$f(x) = e^x \sin x$的导数，答案为$f'(x) = e^x \sin x + e^x \cos x$。
3. 不定积分与定积分：考察了积分技巧的熟练程度。一道题目要求计算$\int \frac{1}{x^2 + 1} dx$，正确答案为$\arctan x + C$。
4. 线性代数：包括矩阵运算、行列式计算和向量空间等。例如，一道题目要求计算矩阵$\begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$的行列式，答案为-2。
5. 概率论与数理统计：涉及了随机变量的分布、期望和方差等。一道题目是求随机变量$X$服从标准正态分布，计算$P(X > 1)$，答案为$\frac{1}{\sqrt{2\pi}} e^{-\frac{1}{2}}$。
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